angelv - sistemas de ecuacionesEn esta entrada se muestra el planteamiento de un problema con un sistema de ecuaciones propuesto en las Pruebas de Acceso a la Universidad de Murcia en la convocatoria de Junio de 2016. Si no puedes esperar, puedes ir desde aquí directamente al ejercicio.
Aunque la normativa educativa ha cambiado con la implantación de la LOMCE, y la Orden ECD/1941/2016, de 22 de diciembre, cambia la denominación de la prueba por “evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad” (EBAU), los contenidos son similares.

Sistemas de ecuaciones en el curriculo LOMCE

Dentro de los contenidos de la materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II cursada en 2º de bachillerato el nuevo curriculo LOMCE hace referencia en su bloque 2 a la resolución de problemas en contextos reales (Decreto n.º 221/2015, de 2 de septiembre de 2015, por el que se establece el currículo del Bachillerato en la Comunidad Autónoma de la Región de Murcia)

Bloque 2: Números y algebra

• Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas en contextos reales.
• Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales: discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones con tres incógnitas). Método de Gauss.

Estándares de aprendizaje evaluables relacionados con este contenido:

2.1.1. Dispone en forma de matriz información procedente del ámbito social para poder resolver problemas con mayor eficacia.
2.1.2. Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas y para representar sistemas de ecuaciones lineales.

Recomendaciones para plantear problemas

Cuando nos enfrentamos al planteamiento de un problema en matemáticas, la dificultad más importante es la interpretación del texto para poder traducirlo a lenguaje matemático. En este sentido, es crucial leer detenidamente el problema para identificar las posibles estrategias de resolución.
Para plantear un sistema de ecuaciones comenzamos definiendo las incognitas que buscamos, es decir, aquello que no sabemos y que el sistema de ecuaciones nos permitirá averiguar.
Una vez definidas las variables debemos tener claro que un sistema de ecuaciones está formado por igualdades. El texto nos hará comparaciones con las incógnitas y nos aportará la información necesaria para identificar dichas igualdades. Tenemos que interpretar e identificar las igualdades.

Quizá se entienda mejor con un ejemplo.
Si la edad de un padre es el doble de la de su hijo:

• Las variables a utilizar son la edad del padre (P) y la edad del hijo (H)

• El texto está comparando la edad del padre con la edad del hijo, es decir está igualando P a H:

P <———–> H

• Evidentemente, la igualdad anterior no es cierta. ¿Que debemos hacer para que la igualdad sea cierta? En este caso multiplicar por 2 (el doble) la edad del hijo (que es la mitad que la del padre).   P = 2 H

 

 

¿Lo aplicamos a un ejemplo?

Cuestión correspondiente a la PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA EL ALUMNADO DE BACHILLERATO de MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. Murcia – JUNIO 2016:

En una empresa trabajan empleados de las categorías A, B y C. El salario mensual de cada trabajador es de 1200, 1700 y 2200 euros, según que pertenezca a la categoría A, B y C, respectivamente. Todos los trabajadores destinan el 5% de su salario a un plan de pensiones, lo que asciende en un mes a un total de 4930 euros. El número de trabajadores de la categoría A es el 150% de los de la categoría B. El número de trabajadores de la categoría B más el de la C supera en 3 al número de trabajadores de la categoría A. Hallar el número de trabajadores de cada categoría que tiene la empresa. (2,5 puntos)

Planteamiento

a) Identificar variables o incógnitas

Comenzamos por identificar las variables:

Hallar el número de trabajadores de cada categoría que tiene la empresa.

Las categorías son A, B y C, por lo que definimos las siguientes variables:
A: nº de trabajadores de categoría A
B: nº de trabajadores de categoría B
C: nº de trabajadores de categoría C

b) Ordenamos la información:

Igualdad 1

Sabemos que cada trabajador destina un 5% de su sueldo a un plan de pensiones y que la aportación total a este apartado es de 4930 €, que es un 5% del total percibido por los trabajadores. La remuneración pagada a la totalidad de la plantilla es el importe individual de cada trabajador multiplicado por el número de trabajadores. Como hay empleados de 3 categorías, el importe total de las remuneraciones corresponde al siguiente cálculo:


Sueldo por cada empleado de categoría A: 1.200 €
Sueldo por el total de empleados de categoría A:

1200 • A
Aportación total al plan de pensiones de empleados de categoría A:
0,05 • 1200 • A = 60 • A


Sueldo por cada empleado de categoría B: 1.700 €
Sueldo por el total de empleados de categoría B:
1.700 • B
Aportación total al plan de pensiones de empleados de categoría B:
0,05 • 1.700 • A = 85 • B


Sueldo por cada empleado de categoría C: 2.200 €
Sueldo por el total de empleados de categoría C:
2.200 • C
Aportación total al plan de pensiones de empleados de categoría C:
0,05 • 2.200 • C = 110 • C


Luego, la primera ecuación del sistema queda de la siguiente manera:

60A + 85B + 110C = 4930

Igualdad 2

El número de trabajadores de la categoría A es el 150% de los de la categoría B.

Estamos comparando el número de trabajadores de la categoría A con el número de trabajadores de la categoría B, es decir:

A <————> B

Pero esta igualdad, tal como está planteada, no es cierta. Tenemos que ajustarla. A es el 150% de B, es decir, si hallamos el 150% de B (multiplicar por 1,5), obtenemos A:

A = 1,5 B

Igualdad 3

El número de trabajadores de la categoría B más el de la C supera en 3 al número de trabajadores de la categoría A

Vuelve a haber una comparación:

B + C <—————-> A

¿En que se diferencian? B + C supera en 3 a A. Para que la igualdad sea cierta debemos añadir 3 unidades a A

B + C = A + 3

Sistema de ecuaciones planteado

Ya tenemos las 3 ecuaciones necesarias para hallar las 3 incognitas buscadas por el problema. Solo queda reordenar un poco las expresiones para poder representar el sistema en forma matricial y poder utilizar algún método de resolución.

La primera ecuación puede quedar igual, aunque puede simplificarse por una ecuación equivalente dividiendo todos sus términos entre 5:

12A + 17B + 22C = 986

En la segunda ecuación agruparíamos los términos con incógnita en uno de los miembros de la ecuación y la multiplicariamos por 2 para eliminar los decimales (optativo), con lo que quedaría de la siguiente manera:

2A – 3B = 0

Siguiendo un proceso análogo al anterior, la tercera ecuación quedaría así:

– A + B + C = 3

Paso a forma matricial

El sistema de ecuaciones planteado queda de la siguiente manera:

\left.\begin{matrix}<br /> 12A &+&17B &+&22C &=&986 \\<br /> 2A &- &3B & & &=&0\\<br /> -A &+ &B &+ &C &=&3<br /> \end{matrix}\right\}

Para aplicar el método de Gauss, construiremos la matriz ampliada de dicho sistema:

\begin{pmatrix}<br /> 12 & 17 &22 &986 \\<br /> 2 &-3 &0 &0 \\<br /> -1 & 1 &1 &3<br /> \end{pmatrix}

Listo para resolver. Los pasos a seguir para llegar a la solución quedan para otra entrada. La solución es:

A = 30
B = 20
C = 13