2018 EBAU Murcia Ord. A1

Ejercicio de discusión de sistemas de ecuaciones dependiendo de un parámetro. Cuestión A1 propuesta en la EBAU de Murcia 2018 en la convocatoria ordinaria de Junio.

En este ejercicio se evalúa la capacidad del alumno para determinar si un sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Para ello es necesario es posible utilizar tanto el método de Gauss como el teorema de Rouché-Frobenius.

Solución

Siempre que vayamos a discutir un sistema o, simplemente, queramos resolverlo, debemos empezar por construir la matriz ampliada.

Escalonar matriz ampliada

$\large A^*=\begin{pmatrix} 1 & & 2 & &-1 & & 6 \\ 0 & & 1 & & 1 & & 1 \\ a & & 1 & & -2 & & 4 \end{pmatrix}$

A continuación transformaremos sucesivamente la matriz ampliada en una matriz escalonada equivalente por filas mediante combinaciones lineales.

En este ejercicio, el elemento a^*₂₁ es cero, por lo que solo nos quedaría convertir en cero el elemento a^*₃₁

Para ello realizaremos la siguiente combinación lineal:

$\large f_{3}\rightarrow a f_{1}-f_{3}$

Quedando la matriz A^* de la siguiente manera

$\large A^*=\begin{pmatrix} 1 & & 2 & &-1 & & 6 \\ 0 & & 1 & & 1 & & 1 \\ 0 & & 2a-1 & & -a+2 & & 6a-4 \end{pmatrix}$

Solamente quedaría convertir en cero el elemento a^*₃₂

Para ello realizamos la siguiente combinación lineal:

$\Large f_{3}\rightarrow (2a-1) f_{2}-f_{3}$

Quedando la matriz ampliada de la siguiente manera:

$\large A^*=\begin{pmatrix} 1 & & 2 & &-1 & & 6 \\ 0 & & 1 & & 1 & & 1 \\ 0 & & 0 & & 3a-3 & & -4a+3 \end{pmatrix}$

Hallar rango de la matriz de coeficientes

Una vez escalonada la matriz, hallamos el rango de la matriz de coeficientes dependiendo del parámetro a, teniendo en cuenta que si el determinante de A es cero, el rango de A será menor que 3, y si el determinante de A es distinto de cero, el rango de A es 3. En una matriz triangular superior (A es una matriz triangular superior, siendo todos los elementos por debajo de la diagonal principal igual a cero) su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Matriz de coeficientes:

$\large A=\begin{pmatrix} 1 & & 2 & &-1 \\ 0 & & 1 & & 1 \\ 0 & & 0 & & 3a-3 \end{pmatrix}$

Diagonal principal de la matriz de coeficientes:

$\large diagonal (A)=\begin{pmatrix} 1 & & 1 & & 3a-3 \end{pmatrix}$

Determinante de la matriz de coeficientes. La igualamos a cero para hallar los valores de a que hacen cero dicho determinante:

$\large \left| A \right| = 1 \cdot 1 \cdot (3a-3) = 0$

Si resolvemos esta ecuación, obtenemos que para a=1 el determinante de A es cero.

Discusión del sistema

En la discusión del sistema tenemos 2 casos posibles, dependiendo de si a es igual a 1, o a es distinto de 1.

Caso 1: $a \neq 1$

Si $\large a \neq 1 \rightarrow \left| A \right| \neq 0 \rightarrow Rg A = 3$

Como A es una submatriz cuadrada incluida en la matriz ampliada, si el rango de A es 3, el rango de la matriz ampliada A^* también es 3

Además, el número de incognitas de este sistema es 3. Por lo tanto, Rg A = Rg A^* = nº de incognitas = 3 $\large \rightarrow$ Sistema Compatible Determinado
Caso 2: $a = 1$

Si $\large a = 1 \rightarrow \left| A \right| = 0 \rightarrow$ Rg A < 3