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Solución

Lo primero que hacemos es tomar nota de los datos, siendo:

\Large P(A)=0,3       la probabilidad de que llueva en la ciudad A

\Large P(\overline{B})=0,6        la probabilidad de que no llueva en la ciudad B

\Large P(A\cup B)=0,5       la probabilidad de que llueva en al menos una de las 2 ciudades La expresión “al menos” debe interpretarse como la probabilidad de que ocurra en A, en B o en ambos, por lo que este dato indica la unión de los 2 sucesos.

Apartado a)

La probabilidad de que no llueva en ninguna de las 2 ciudades es la intersección del suceso contrario de A y el suceso contrario de B, es decir:

\Large  P(\overline{A}\cap \overline{B})

Aplicando las leyes de De Morgan, podemos actuar de la siguiente manera:

\Large  P(\overline{A}\cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B})

que es el suceso contrario de

\Large  P(A\cup B)

por lo que

\Large  P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1- P(A \cup B) = 1 - 0,5 = 0,5

Apartado b)

La probabilidad de que no llueva en ninguna de las 2 ciudades la interpretamos como la intersección de los sucesos A y B. Deben ocurrir los 2 de forma simultanea.

\Large  P(A\cap B)

Como la probabilidad de la unión de 2 sucesos es la suma de las probabilidades de cada uno de los 2 sucesos menos la probabilidad de la intersección:

\Large  P(A\cup B)=P(A)+P(B) - P(A \cap B)  (1)

el siguiente paso en la resolución de este apartado consiste en averiguar P(B):

\Large P(B)=1- P(\overline{B})= 1- 0,6 = 0,4

Sustituyendo en (1), quedará:

\Large 0,5 = 0,3 +0,4 - P(A \cap B)

Despejando \Large P(A \cap B)

\large P(A \cap B) = 0,3 + 0,4 - 0,5 = 0,2

Si A y B son sucesos independientes, debe cumplirse la siguiente igualdad:

\large P(A \cap B) = P(A) \cdot{} P(B)

Calculamos

\large P(A) \cdot{} P(B) = 0,3 \cdot{} 0,4 = 0,12

Como

\large P(A \cap B) = 0,2

podemos afirmar de A y B no son sucesos independientes

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