Solución
Lo primero que hacemos es tomar nota de los datos, siendo:
[latex s=2]\Large P(A)=0,3[/latex] la probabilidad de que llueva en la ciudad A
[latex s=2]\Large P(\overline{B})=0,6[/latex] la probabilidad de que no llueva en la ciudad B
[latex s=2]\Large P(A\cup B)=0,5 [/latex] la probabilidad de que llueva en al menos una de las 2 ciudades La expresión “al menos” debe interpretarse como la probabilidad de que ocurra en A, en B o en ambos, por lo que este dato indica la unión de los 2 sucesos.
Apartado a)
La probabilidad de que no llueva en ninguna de las 2 ciudades es la intersección del suceso contrario de A y el suceso contrario de B, es decir:[latex s=2]\Large P(\overline{A}\cap \overline{B}) [/latex]
Aplicando las leyes de De Morgan, podemos actuar de la siguiente manera:
[latex s=2]\Large P(\overline{A}\cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) [/latex]
que es el suceso contrario de
[latex s=2]\Large P(A\cup B) [/latex]
por lo que
[latex s=2]\Large P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1- P(A \cup B) = 1 – 0,5 = 0,5 [/latex]
Apartado b)
La probabilidad de que no llueva en ninguna de las 2 ciudades la interpretamos como la intersección de los sucesos A y B. Deben ocurrir los 2 de forma simultanea.[latex s=2]\Large P(A\cap B) [/latex]
Como la probabilidad de la unión de 2 sucesos es la suma de las probabilidades de cada uno de los 2 sucesos menos la probabilidad de la intersección:
[latex s=2]\Large P(A\cup B)=P(A)+P(B) – P(A \cap B) [/latex] (1)
el siguiente paso en la resolución de este apartado consiste en averiguar P(B):
[latex s=2]\Large P(B)=1- P(\overline{B})= 1- 0,6 = 0,4[/latex]
Sustituyendo en (1), quedará:
[latex s=2]\Large 0,5 = 0,3 +0,4 – P(A \cap B) [/latex]
Despejando [latex]\Large P(A \cap B) [/latex]
[latex s=2]\large P(A \cap B) = 0,3 + 0,4 – 0,5 = 0,2[/latex]
Si A y B son sucesos independientes, debe cumplirse la siguiente igualdad:
[latex s=2]\large P(A \cap B) = P(A) \cdot{} P(B) [/latex]
Calculamos
[latex s=2]\large P(A) \cdot{} P(B) = 0,3 \cdot{} 0,4 = 0,12 [/latex]
Como
[latex s=2]\large P(A \cap B) = 0,2[/latex]
podemos afirmar de A y B no son sucesos independientes
